布尔代数

wyf

一、什么是布尔代数？
布尔代数是一种数学结构，通常用于逻辑运算和集合运算。它基于两个值：True 和 False，一般分别表示 1 和 0


二、布尔代数的运算
  >基本运算
    1. 与  ( and ): 当两个值都为真时，结果为真
        符号通常用 “ · ” 表示，有时也可省略不写
        A · B | Result
        0 · 0 |   0
        0 · 1 |   0
        1 · 0 |   0

        1 · 1 |   1

    2. 或 ( or ): 只要有一个或一个以上的值为真，结果为真；两个值都为假时，则结果为假

        符号通常用 “ + ” 表示

        A + B | Result
        0 + 0 |   0
        0 + 1 |   1
        1 + 0 |   1
        1 + 1 |   1

    3. 非 ( not ): 对单一值的否定；若值为真，则结果为假；若值为假，则结果为真
        符号通常用 “ ¬ ” 表示， 或在变量上加一横线表示
        ¬A | Result
        0  |   1
        1  |   0

  >次要运算
    1. 异或 ( XOR ): 当两个值不同时，结果为真；两个值相同时，则结果为假
        符号通常用 “ ⊕ ” 表示，A ⊕ B == A · not ( B ) + not ( A ) · B
        A ⊕ B | Result
        0 ⊕ 0 |   0
        0 ⊕ 1 |   1
        1 ⊕ 0 |   1
        1 ⊕ 1 |   0
    2. 同或 ( XNOR ): 当两个值不同时，结果为假；两个值相同时，则结果为真
        可以理解为对 XOR 的否定，A ⊙ B == not ( A ⊕ B )
        符号通常用 “ ⊙ ” 表示
        A ⊙ B | Result
        0 ⊙ 0 |   1
        0 ⊙ 1 |   0
        1 ⊙ 0 |   0
        1 ⊙ 1 |   1

三、定律

  上述这些定律都是比较实用的，但是不建议去刻意的背，个人认为太浪费时间并且没什么意义
  建议自己推导证明一下，这样印象更加深刻（ 这并不难，理解了才是属于自己的 ）


· 最后出道题感兴趣的话可以做做（会的话acsl里遇到布尔代数类型的题就基本没问题了）
   
    给定上述布尔函数 F ( A, B, C, D )，将其化简为最简形式

liuyi

鸣谢Ray同学

liuyi

韩彦泽

这个香农展开定理是怎么一步步展开的，我没看懂，谁能解释一下，谢谢。

wyf

韩彦泽 发表于 2-7-2026 12:34
这个香农展开定理是怎么一步步展开的，我没看懂，谁能解释一下，谢谢。

其实这个可以理解为，将一个布尔函数展开成其中某一个变量的两种形式，一种是该变量为“真”的情况，另一种是该变量为“假”的情况
‘A' 就代表上述的 '某一变量'
由于 'A' 和 'not(A)' 互斥 所以总有一项会生效

韩彦泽

wyf 发表于 2-7-2026 22:59
其实这个可以理解为，将一个布尔函数展开成其中某一个变量的两种形式，一种是该变量为“真”的情况，另一 ...

我还是不太明白，你能不能把解题思路写一下，这样我也知道大概要怎么做，谢谢

韩彦泽

wyf 发表于 2-7-2026 22:59
其实这个可以理解为，将一个布尔函数展开成其中某一个变量的两种形式，一种是该变量为“真”的情况，另一 ...

前面两张图片是豆包给我的解题思路，后三张是千问的解题思路，你能不能帮我看看哪种对或者说哪种更好，谢谢。

KevTheDev

我觉得这个xor的解法一般，你可以认为布尔表达式也符合分配律和结合律然后“因式分解”一下